Αριθμητική και στοιχειώδης Άλγεβρα,
Αριθμητική,
Άλγεβρα
οι νόμοι των πράξεων,
δυνάμεις και ρίζες,
παράγοντες,
κλάσματα,
λόγος και αναλογία,
πολυώνυμα.
Η ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ
Η αριθμητική είναι ο απλός κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τους αριθμούς και τους τρόπους με τους οποίους αυτοί μπορούν να συνδυαστούν μεταξύ τους.
Αποτελεί ουσιαστικά πρακτικό αντικείμενο επεξεργασίας, που εφαρμόζεται σε σχέσεις μεταξύ αντικειμένων ή ποσοτήτων και διακρίνεται από τη θεωρητική μελέτη των αριθμών.
Η αριθμητική περιλαμβάνει τέσσερις πράξεις, που είναι γνωστές ως πρόσθεση αφαίρεση πολλαπλασιασμός και διαίρεση.
Πρόσθεση, η πιο βασική από τις τέσσερις πράξεις, κατά την οποία ένας αριθμός αυξάνεται κατά έναν άλλο αριθμό όπως για παράδειγμα 2+3=5.Το αποτέλεσμα της πράξης λέγεται "άθροισμα" στο παράδειγμα είναι το 5 ,ενώ οι αριθμοί 2,3 λέγονται "προσθετέοι".
Αφαίρεση , αποτελεί πράξη αντίθετη της πρόσθεσης, είναι δηλαδή η μείωση ενός αριθμού κατά έναν άλλο αριθμό, πχ 5-3=2 το αποτέλεσμα της αφαίρεσης λέγεται "διαφορά"στο παράδειγμα είναι το 2, και ο αριθμός που αφαιρείται λέγεται "αφαιρετέος" εδώ ο 3.Η αφαίρεση θεωρείται η αντίστροφη της πρόσθεσης [δηλαδή 2+3=5 και 5-3=2] και η πρόσθεση αντίστροφη της αφαίρεσης. Μια σημαντική διαφορά μεταξύ της πρόσθεσης και της αφαίρεσης είναι ότι, κατά την πρόσθεση δύο φυσικών αριθμών [θετικών ακέραιων] το αποτέλεσμα είναι πάντα ένας άλλος φυσικός αριθμός . Αυτό όμως δεν συμβαίνει απαραίτητα κατά την πράξη της αφαίρεσης: η διαφορά 2-5 είναι ένας αρνητικός ακέραιος αριθμός (-3). Η αφαίρεση μπορεί να θεωρηθεί ως μια ειδική περίπτωση της πρόσθεσης κατά την οποία ο αριθμός ο οποίος προστίθεται είναι αρνητικός δηλαδή 5-3=5+(-3) όμοια και η αφαίρεση ενός αρνητικού αριθμού ισοδυναμεί με πρόσθεση δηλαδή 5-(-3)=5+3. Η πράξη της αφαίρεσης οδήγησε στη διερεύνηση του συστήματος αρίθμησης, που συμπεριέλαβε εκτός από τους θετικούς αριθμούς και τους αρνητικούς ακέραιους αριθμούς.
Πολλαπλασιασμός. Η πράξη αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως επαναλαμβανόμενη πρόσθεση: το 9Χ5 είναι ισοδύναμο με 9+9+9+9+9 το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού είναι γνωστό σαν "γινόμενο" δηλαδή στη περίπτωση 9x5=45 γινόμενο είναι το 45 ο αριθμός που πολλαπλασιάζεται ο 9 λέγεται πολλαπλασιαστέος ενώ αυτός που τον πολλαπλασιάζει ο 5 λέγεται πολλαπλασιαστής.Στη πραγματικότητα όπως και στη πρόσθεση η σειρά των όρων δεν έχει μεγάλη σημασία 9x5 =5x9 οπότε και οι δύο όροι μπορούν να θεωρούνται πολλαπλασιαστές.
Διαίρεση .Όπως η αφαίρεση είναι η αντίστροφη πράξη της πρόσθεσης, έτσι και η διαίρεση είναι η αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού, δηλαδή η πράξη 12:4=3 είναι το αντίστροφο της πράξης 4x3=12. Το αποτέλεσμα της διαίρεσης ονομάζεται "πηλίκο". Στην περίπτωση του παραδείγματος, το 3 είναι το πηλίκο της πράξης 12 δια 3 όπου τον αριθμό που διαιρείται(12) τον λέμε "διαιρετέο" και αυτόν που τον διαιρεί (4)τον λέμε "διαιρέτη". Η διαίρεση μπορεί να θεωρηθεί ως επαναλαμβανόμενη αφαίρεση.Για παράδειγμα το 4 μπορεί να μπορεί να αφαιρεθεί τρεις φορές ακριβώς απο το δώδεκα.Δεν είναι όμως όλες οι διαιρέσεις ακριβείς -με ακέραιο πηλίκο- έτσι στη περίπτωση 13:4=3+(1:4)=3+1/4 όπου το επιπλέον κομμάτι πχ το 1/4 το λέμε υπόλοιπο. Η διαίρεση οδήγησε σε περαιτέρω διερεύνηση του συστήματος αρίθμησης με την προσθήκη των κλασμάτων.
Η ΑΛΓΕΒΡΑ
Η αριθμητική ασχολείται με τους υπολογισμούς των αριθμών κυρίως σε μεμονωμένες περιπτώσεις.Για παράδειγμα αν ένα αυτοκίνητο ταξιδεύει με 60 χιλιόμετρα την ώρα για τρείς ώρες καλύπτει μια απόσταση 180 χιλιομέτρων 60χ30=180 αν ταξιδεύει με 100 χιλιόμετρα την ώρα για τέσσερις ώρες, καλύπτει μια απόσταση 400 χιλιομέτρων 100x4=400.
Η Άλγεβρα αποτελεί τη γενικευμένη μορφή της αριθμητικής.
Στην άλγεβρα χρησιμοποιούνται σύμβολα τα οποία αντιπροσωπεύουν αριθμούς.
Η γενική σχέση που χρησιμοποιείται για τη περιγραφή των παρακάτω παραδειγμάτων είναι η εξής: απόσταση που διανύθηκε (ς)=ταχύτητα(v)x χρόνος που απαιτήθηκε(t) H σχέση αυτή συμβατικά περιγράφεται με τα σύμβολα s=vt όπου: ς είναι η ταχύτητα, v η απόσταση, και t o χρόνος [το γινόμενο vxt γράφεται χωρίς το σημείο του πολλαπλασιασμού x ή . ]
Αυτό αποτελεί ένα παράδειγμα εξίσωσης , στην οποία τα ς , v, t μπορούν να έχουν να πάρουν οποιαδήποτε τιμή από μια συγκεκριμένη περιοχή.
Μια έκφραση όπως η παραπάνω αποτελεί μια πολύ πιο γενική έκφραση από ότι η αριθμητική έκφραση τους.
Μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιοδήποτε πρόβλημα περιλαμβάνει απόσταση ταχύτητα και χρόνο όταν τα δύο είναι γνωστά και το τρίτο άγνωστο οπότε μπορεί να υπολογιστεί με βάση τη σχέση τους. Επιπλέον τέτοιου είδους εκφράσεις μπορούν να ανασχηματιστούν ώστε να προκύψουν διαφορετικές σχέσεις.Διαιρώντας τις δύο πλευρές της παραπάνω σχέσης με v δίνει: s/v=vt/v=t που σημαίνει ότι ο χρόνος προκύπτει αν διαιρεθεί η απόσταση που διανύθηκε με τη ταχύτητα. Αυτός ο τρόπος χειρισμού εκφράσεων που περιέχουν άγνωστες ποσότητες αποτελεί το κύριο χαρακτηριστικό της άλγεβρας.
Αναρτήσεις
